En frekvenstabell redovisar antalet observationer i varje kategori.
En relativ frekvenstabell visar andel istället för antal.
Har vi flera kategoriska variabler kan vi göra en separat frekvenstabell för var och en. Tabeller över enskilda variabler visar dock inte samband mellan variabler.
Korstabeller - två kategoriska variabler
En korstabell (contingency table) visar samband mellan två variabler.
Korstabellen nedan visar resultat ur en svensk studie som undersökte om det finns samband mellan prostatacancer och hur ofta en person äter fisk.
Korstabeller - två kategoriska variabler
Den ena variabeln delar in deltagarna i fyra kategorier baserat på diet: De som aldrig/sällan äter fisk, de som äter lite fisk, de som äter måttligt med fisk, och de som äter mycket fisk.
Den andra variabeln delar in deltagarna i två kategorier: De som diagnostiserades med prostatacancer under studieperioden och de som inte dianostiserades med prostatacancer.
Korstabeller - simultana fördelningar
I det gula fältet ser vi en simultanfördelning (joint distribution). En simultanfördelning delar in observationerna i grupper baserat på två eller fler variabler.
Om en variabel har 4 kategorier och en annan variabel har 2 kategorier får vi sammanlagt \(4 \cdot 2 = 8\) kategorier, en för varje möjlig kombination.
Korstabeller - simultana fördelningar
Om vi lägger samman talen i det gula fältet blir summan 6272, som är det totala antalet observationer (dvs antalet deltagare i studien).
Den simultana fördelningen visar exempelvis att det fanns det 110 deltagare i studien som sällan/aldrig åt fisk och som inte fick prostatacancer.
Korstabeller - marginalfördelningar
Marginalfördelningen av en kategorisk variabel visar antalet observationer per kategori utan att vi tar någon hänsyn till den andra variabeln.
I den högra marginalen ser vi marginalfördelningen av variabeln för hur ofta deltagarna åt fisk. Där ser vi bland annat att totalt 124 deltagare sällan eller aldrig åt fisk.
Korstabeller - marginalfördelningar
I bottenmarginalen ser vi marginalfördelningen för variabeln prostatacancer. Totalt 466 testdeltagare diagnostiserades med prostatacaner under studien.
Varje marginalfördelning summerar till det totala antalet observationer: \(124+2621+2978+549=5806+466=6272\)
Korstabeller - marginalfördelningar
Marginalfördelningen för en kategorisk variabel är samma fördelning som den vi ser i frekvenstabellen när vi bara inkluderar en variabel.
För att bekräfta det skriver vi först ut en korstabell i R.
Sedan skriver vi ut frekvenstabellerna för de två variablerna var för sig.
Genom att dela varje frekvens med det totala antalet observationer inom en grupp och multiplicera med 100 kan vi få en relativ frekvenstabell:.
Antalet som åt mycket fisk och som inte fick cancer var exempelvis 507, så motsvarande andel blir
\[\cfrac{507}{6272}\cdot 100\% = 8.0835 \%.\]
Korstabeller - relativa fördelningar
I praktiken räknar vi sällan ut andelarna för hand. Genom att sätta format=“percent” kan vi skapa en korstabell med relativa frekvenser med tally-funktionen i R.
cancerdiet No Yes Total Never 1.7538265 0.2232143 1.9770408 Small 38.5841837 3.2047194 41.7889031 Moderate 44.1485969 3.3322704 47.4808673 Large 8.0835459 0.6696429 8.7531888 Total 92.5701531 7.4298469 100.0000000
Vi har dock fortfarande inte sett någon tabell som enkelt låter oss se samband mellan variablerna, vilket var syftet med korstabellen.
Korstabeller - betingade fördelningar
För att kunna se samband mellan variablerna introducerar vi begreppet betingad fördelning (conditional distribution).
En betingad fördelning (conditional distribution) är fördelningen av en variabel givet ett värde av en annan variabel.
Vi kan exempelvis vilja undersöka sambandet mellan prostatacancer och fisk i dieten genom att ställa frågorna:
Hur stor andel av de som aldrig/sällan åt fisk fick prostatacancer?
Hur stor andel av de som åt lite fisk fick prostatacancer?
Hur stor andel av de som åt måttligt med fisk fick prostatacancer?
Hur stor andel av de som åt mycket fisk fick prostatacancer?
Korstabeller - betingade fördelningar
När vi ställer de här frågorna är vi intresserade av risken för prostatacancer betingat på en viss diet.
För att få svaren tittar vi på en diet-kategori i taget, där en diet-kategori definieras av hur ofta en person äter fisk.
Genom att jämföra personer som tillhör olika diet-kategorier kan vi se om det finns samband.
Korstabeller - betingade fördelningar
När vi räknar ut betingade fördelningar intresserar vi oss bara för den kategori som vi betingar på.
Vill vi ha fördelningen av variabeln prostatacancer betingat på att deltagaren i studien aldrig/sällan äter fisk ignorerar vi dem som inte tillhör den kategorin.
Korstabeller - betingade fördelningar
När vi räknar ut betingade fördelningar intresserar vi oss bara för den kategori som vi betingar på.
Vill vi ha fördelningen av variabeln prostatacancer betingat på att deltagaren i studien aldrig/sällan äter fisk ignorerar vi dem som inte tillhör den kategorin.
Korstabeller - betingade fördelningar
Vi har 14 deltagare fick prostatacancer och 110 som inte fick det.
Vi räknar fram den relativa frekvensen på samma sätt som när vi bara har en variabel. Andelen med cancer är \(14/124=0.1129\) och andelen utan cancer är \(110/124=0.8871\). Detta är vår betingade fördelning.
Korstabeller - betingade fördelningar
Med hjälp av R skapar vi en tabell för fördelningen av variabeln prostatacancer betingat på variabeln diet.
Vi anger fördelningen i procent.
# Tillägget |> t() vänder på tabellen. Testa både med och utan.tally(~cancer|diet,data=fish,format="percent",margins=T) |>t()
cancerdiet No Yes Total Never 88.709677 11.290323 100.000000 Small 92.331171 7.668829 100.000000 Moderate 92.981867 7.018133 100.000000 Large 92.349727 7.650273 100.000000
Korstabeller - betingade fördelningar
Notera att varje rad summerar till 100 procent. Så ska det vara eftersom varje rad representerar en av de kategorier som vi betingar fördelningen på. Varje rad kan alltså ses som en egen självständig fördelning.
Nu kan vi se skillnader mellan grupperna. Bland dem som aldrig eller sällan åt fisk hade drygt 11 procent diagnosticerats med prostatacancer. Bland övriga grupper är motsvarande siffra lite över 7 procent.
cancerdiet No Yes Total Never 88.709677 11.290323 100.000000 Small 92.331171 7.668829 100.000000 Moderate 92.981867 7.018133 100.000000 Large 92.349727 7.650273 100.000000
Kategoriska variabler och samband
Vi kan ge en snabbare överblick av samma information med en graf.
bargraph(~cancer|diet, data=fish, type="percent")
Kategoriska variabler och samband
Vi kan också gruppera efter variabeln cancer. Färgerna indikerar diet. Två staplar av samma färg är tillsammans 100 procent. Vi ser att cancer förekom något mer bland de deltagare som aldrig eller sällan åt fisk.
Givet en viss diet kan vi nu säga hur stor andel som har diagnosticerats med cancer.
Betyder det att vi även kan säga hur stor andel av dem som diagnosticerat med cancer som har en viss diet? Nej, inte utan att räkna ut nya betingade värden.
Den här gången vill vi veta hur ofta personer äter fisk
betingat på att en person har diagnosticerats med cancer.
betingat på att en person inte har diagnosticerats med cancer.
Kategoriska variabler och samband
Vi tar den här gången fram en tabell som är betingad på cancer-variabeln.
cancerdiet No Yes Never 1.894592 3.004292 Small 41.681020 43.133047 Moderate 47.692043 44.849785 Large 8.732346 9.012876 Total 100.000000 100.000000
Räkneexempel: Säg att vi vill räkna ut andelen som aldrig/sällan åt fisk betingat på att de fick cancer. Vi ignorerar då alla deltagare som inte fick cancer. Antalet deltagare som fick prostatacancer var 466. Antalet av dessa som aldrig/sällan åt fisk var 14. Den procentuella andelen av de som fick cancer som aldrig/sällan åt fisk var alltså \((14 / 466) * 100\% = 3.004292 \%\).
Kategoriska variabler och samband
Notera att det nu är kolumnerna som summerar till 100. Det beror på att vi nu har gjort en separat frekvenstabell för varje kolumn.
Något som framgår här, och som vi inte såg när vi betingade fördelningen på diet, är att det är få av deltagarna som aldrig eller sällan äter fisk.
cancerdiet No Yes Never 1.894592 3.004292 Small 41.681020 43.133047 Moderate 47.692043 44.849785 Large 8.732346 9.012876 Total 100.000000 100.000000
Kategoriska variabler och samband
Vi gör ett stapeldiagram grupperat på cancer-variabeln.
De blå staplarna summerar till 100 procent, och staplarna i beige summerar också till 100 procent.
Vi ser att bland de som aldrig eller sällan äter fisk är cancerdiagnoserna något överrepresenterade.
Stapeldiagrammet till vänster är betingat på variabeln Class. Det hjälper oss att besvara frågan om hur stor andel som överlevde inom varje biljettklass.
Stapeldiagrammet till höger är betingat på variabeln Survived. Det hjälper oss att besvara frågan om hur stor andel av dem som överleve, respektive av dem som inte överlevde, som reste i en viss klass.
Kategoriska variabler och samband - fler exempel
Stapeldiagrammet till vänster ger en bild av andelen som överlevde katastrofen, men ingen information om hur många som ingick i varje klass.
Stapeldiagrammet till höger ger en bild av hur många som reste i respektive klass, men ingen information om andelen som överlevde.
Kategoriska variabler och samband - mosaic plot
En mosaic plot ger en mer komplett bild av en simultan fördelning än ett vanligt stapeldiagram. Varje ruta har en area som motsvarar andelen observationer som rutan representerar.
Kategoriska variabler och samband - mosaic plot
En mosaic plot kan dessutom visa fler än två variabler i samma bild. Den här grafen visar variablerna Class, Survived och Gender.
Kategoriska variabler och samband - mosaic plot
Mosaic plot över deltagarna i studien om fisk och prostatacancer.
Kategoriska variabler och samband - fisk och cancer
Det är tydligt att deltagare i studien som diagnosticerades med cancer var överrepresenterade bland dem som aldrig åt fisk.
Betyder det att vi har hittat ett samband? Ja och nej.
Ja, bland deltagarna i studien finns ett samband.
Nej, vi kan inte utan vidare säga att det finns ett samband som gäller för hela befolkningen.
Det finns bara 14 deltagare i studien som fick prostatacancer och som aldrig/sällan äter fisk. Det är ett litet underlag om vi vill dra slutsatser som gäller hela befolkningen.
Det kan vara slumpen som gör att vi ser ut att ha ett samband mellan två variabler.
Kategoriska variabler och samband - Titanic
När vi försöker avgöra om ett samband mellan två variabler i vårt datamaterial beror på slumpen eller om det beror på att de faktiskt finns ett mer generellt samband, då är vi inne på ett statistikområde som kallas inferens.
Formella metoder för inferens ingår i del 2 av kursen, men redan nu kan vi ge en mer allmän bild av vad det är.
Kategoriska variabler och samband - Titanic
En forskare skulle kunna ställa frågan: Finns det ett samband mellan vilka som överlevde Titanic-katastrofen och vilket typ av biljett de reste med?
Vi kan se i vårt datamaterial att en större andel som reste i första klass överlevde jämfört med de som reste i tredje klass. Kan vi säga säkert att någon som reste första klass hade större möjligheter att överleva, eller kan det ha varit slumpen som gjorde att en större andel ur första klass klarade sig?
I kursboken (sid 48-49) beskrivs en metod som skulle kunna användas för att ge svar på frågan.
Kategoriska variabler och samband - Titanic
Pajdiagrammet visar den faktiska fördelningen bland dem som överlevde.
1 står för 1:a klass, 2 för andra klass, 3 för tredje klass och Crew för besättning.
Kategoriska variabler och samband - Titanic
En vanlig metod för att avgöra om det finns ett verkligt samband mellan två variabler är att ställa upp en hypotes om att det inte finns något samband mellan variablerna.
I det här fallet skulle hypotesen vara att det saknas samband mellan biljettyp och överlevnad.
Om hypotesen stämmer borde de 712 platserna i livbåtarna vara fördelade slumpvis mellan de 2208 passagerarna.
Kategoriska variabler och samband - Titanic
Kategoriska variabler och samband - Titanic
Vi upprepar vår procedur att fördela platserna i livbåtarna flera gånger.
Varje gång gör vi ett nytt pajdiagram som visar utfallet.
Kategoriska variabler och samband - Titanic
Ser den verkliga fördelningen ut som om den är resultatet av samma slumpvisa process som använts för att skapa de övriga fördelningarna?
Kategoriska variabler och samband - Titanic
Om den verkliga fördelningen är resultatet av samma slumpprocess som övriga fördelningar på bilden, då är det ett väldigt sällsynt (osannlikt) utfall.
Kategoriska variabler och samband - kausalitet
Anta att vi har konstaterat att det fanns ett samband mellan biljettyp och överlevnad, betyder det att en förstaklassbiljett medförde att du hade en bättre chans att få en plats i en livbåt?
Nej, ett samband är inte samma sak som kausalitet!
Det kan finnas andra orsaker till sambandet än att den ena variabeln påverkar den andra. Kanske var social ställning den underliggande faktor?
I fallet med cancer och fisk, kanske är det så att människor som är hälsomedvetna oftare äter fisk, samtidigt som de också äter mer grönsaker och ägnar sig mer åt fysisk aktivitet.
Kategoriska variabler och samband - kausalitet
Att fundera över
Om det finns ett samband mellan fler tv-apparater i ett land och högre medellivslängd, beror det på att tv-tittande är nyttigt eller finns det någon annan bakomliggande variabel som spelar in?
När du tittar på ett dataset, var medveten om att det alltid finns dolda variabler (lurking variables), det vill säga variabler som inte är inkluderade i datamaterialet.
Kategoriska variabler och samband - Simpson’s paradox
Simpson’s paradox innebär att ett samband mellan två variabler kan försvinna när datamaterialet delas in i olika grupper. På sid 106 i kursboken hittar vi en korstabell som tycks peka på att män hade lättare än kvinnor att bli antagna som doktorander på UC Berkeley.
Över 40 procent av männen som söktes blev antagna men bara 30 procent av kvinnorna. Det ser ut som att kvinnor blev negativt särbehandlade.
Kategoriska variabler och samband - Simpson’s paradox
När vi ser samma siffror nedbrutna per fakultet (school) blir bilden en annan.
På fyra av de sex fakulteterna var det en större andel av de sökande kvinnorna än av de sökande männen som kom in. Hur går det ihop?
Kategoriska variabler och samband - Simpson’s paradox
Fler män sökte till school A och B, där det var lättare att komma in.
Fler kvinnor sökte till school E och F, där det var svårare att komma in.
Kvinnor hade lägre antagningsgrad på grund av att de sökte program som var svårare att komma in på.
